APLICACIONES EN LA INGENIERIA MECANICA

Una aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción como lo son en procesos de mecanizado, tales como el torneado en donde se usa mucho el concepto de volumen por revolución. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Se denomina torno a un conjunto de máquinas herramienta que permiten mecanizar piezas de forma geométrica de revolución. Estas máquinas-herramienta operan haciendo girar la pieza a mecanizar (sujeta en el cabezal o fijada entre los puntos de chale quede fuera contraje) mientras una o varias herramientas de corte son empujadas en un movimiento regulado de avance contra la superficie de la pieza, cortando la viruta de acuerdo con las condiciones tecnológicas de mecanizado adecuadas. Desde el inicio de la Revolución industrial, el torno se ha convertido en una máquina básica en el proceso industrial de mecanizado.

MARCO TEORICO

Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material.

Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sele quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico.

Elasticidad:

Propiedad de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación.

Los materiales no deformables se les llama inelásticos (arcilla, plastilina) y masa de repostería). El plomo también es inelástico, porque se deforma con facilidad de manera permanente.

Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad, ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico.

TEMA DE APLICACIÓN

Aplicación a resortes (Trabajo): De acuerdo con la ley de Hooke en física la fuerza F(x) necesaria para mantener un resorte estirado (o comprimido) x unidades alargado (o acortado) de su longitud natural está dada por F(x) = kx.

Aquí la contante k, es la constante del resorte y es positiva y depende del resorte particular bajo consideración, entre más rígido sea el resorte mayor será el valor de k.

EJEMPLO 1:

Si la longitud natural de un resorte es 0.2 metros y si es necesaria una fuerza de 12 newtons para mantenerlo estirado 0.04 metros, encuentre el trabajo hecho al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 0.3 metros.

Solución:

Por la ley de Hook antes mencionada, la fuerza requerida para mantener el resorte estirado x pulgadas está dada por F(x)= kx. Para evaluar la constante del resorte, k, para este resorte en particular, observamos que F(0.04) = 12, por lo que k · 0.04 = 12 o bien, k = 300, de modo que: F(x) = 300x.

Note que cuando el resorte tiene su longitud natural de 0.2 metros, x = 0, cuando tiene una longitud de 0.3 metros, x = 0.1, por tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte esta dado por:

Aplicación a bombeo de un líquido: Para bombear agua de un tanque se requiere trabajo, para conocer esa cantidad de trabajo debemos tomar en cuenta los mismos principios básicos que tomamos con integración.

EJEMPLO 2:

Encontrar el trabajo realizado al bombear agua hasta el borde superior de u depósito, que es de 50 pies de largo y tiene extremos semicirculares de radio = 10 pies, si el depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies.

Colocamos un extremo del tanque en un sistema de coordenadas, como se muestra en la última figura. Una rebanada horizontal representativa se muestra en ambas figuras de éste ejemplo; esta rebanada es aproximadamente una caja delgada, de modo que calculamos su volumen multiplicando su largo, ancho y grosor, su peso es su densidad, P = 62.4, por su volumen. Finalmente, notamos que la rebanada debe elevarse una distancia de –y (el signo menos es porque en la figura y es negativa).